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函数的单调性和周期性

发布时间:2019-12-31 12:30    点击次数:92次   

  函数的单调性和周期性_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§2.3 类型一 函数的奇偶性与周期性 函数奇偶性的判断 1.判断函数奇偶性的步骤是:①求函数定义域,看定义域是否关于原点对 称,若不对称,则既不是奇函数,也不是偶函数;②验证 f(-x)是否等

  §2.3 类型一 函数的奇偶性与周期性 函数奇偶性的判断 1.判断函数奇偶性的步骤是:①求函数定义域,看定义域是否关于原点对 称,若不对称,则既不是奇函数,也不是偶函数;②验证 f(-x)是否等于± f(-x) f(x), 或验证其等价形式 f(x)±f(-x)=0 或 =± 1(f(x)≠0)是否成立. (2) f(x) 对于分段函数的奇偶性应分段验证,但比较繁琐,且容易判断错误,通常是 用图象法来判断. (3)对于含有 x 的对数式或指数式的函数通常用“f(-x)±f(x) =0”来判断. 2.奇、 偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据, 为了方便判断函数 的奇偶性, 有时需要将函数进行化简, 或应用定义的等价形式: f(-x)=± f(x)?f(- x)± f(x)=0?=± 1(f(x)≠0)进行判断. 3.判断函数奇偶性的方法通常有 (1)定义法:根据定义判断. (2)图象法:函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性,f(x)为奇函数的充要 条件是函数 f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数的充要条件是函数 f(x)的图象 关于 y 轴对称. (3)运用奇、 偶函数的运算结论. 要注意定义域应为两个函数定义域的交集. 判断下列函数的奇偶性: 2 ?-x +2x+1,x>0, 1-x 4-x2 (1)f(x)=(x+1) ;(2)f(x)=? 2 (3)f(x)= x ; 1+x ?x +2x-1,x<0; (4)f(x)= x2-1+ 1-x2;(5)f(x)=loga(x+ x2+1)(a0 且 a≠1). (2013·广州模拟)判断下列函数的奇偶性: 2 ?x +x,x<0, lg(4-x2) (1)f(x)= ;(2)f(x)=? 2 x-2+x+4 ?-x +x,x>0. 类型二 利用函数性质求解析式 1.判断周期函数的一般方法 (1)定义法:应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周 期的定义出发,充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转化.考点梳理栏目中有关 周期的结论应熟记. (2)公式法:若函数 f(x)是周期函数,且周期为 T,则函数 f(ax+b)(a≠0)也为 周期函数,且周期 T′=. 2.①若 f(x+a)· f(x)=b(常数),则 2a 为 f(x)的周期(a>0);同理,②f(x+a)= 1 1 -f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a)=- ,均可推得 2a 为 f(x)的周期(a>0). f(x) f(x) 已知函数 f(x)满足 f(x)· f(x+2)=13. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)若 f(1)=2,求 f(99)的值; (3)若当 x∈[0,2]时,f(x)=x,试求 x∈[4,8]时函数 f(x)的解析式. 已知函数 f(x),x∈R 的图象关于 y 轴对称,且当 x∈[0,1]时,f(x) =x ,同时 f(x+2)=f(x),求 f(x). 2 类型三 奇偶性与单调性的综合 解题中要注意以下性质的灵活运用 (1)f(x)为偶函数?f(x)=f(x); (2)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0; (3)若 f(x)既是奇函数,又是偶函数,则它的图象一定在 x 轴上 设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1- m)<f(m),则实数 m 的取值范围是________________. 已知定义域为(-1,1)的奇函数 f(x),在(-1,1)上又是减函数,且 满足 f(2x-1)+f<0,则 x 的取值范围为______________. 类型四 函数周期性和奇偶性的应用 1. 借助函数周期性解决求函数值或求函数零点个数等问题是常考问题,在 周期未明确指出的情况下,注意运用对称性与周期性的关系等先确定周 期. 2. 函数奇偶性和周期性的应用 已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式, 求函数在另 一区间或整体定义域内的解析式时,一定要注意区间的转换 .如:若 x >0,则-x<0;若 1<x<2,则 3<x+2<4 等.如果要研究其值域、最 值、单调性等问题,通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一 周期内(对周期函数而言)考虑,然后推广到整个定义域上. ()若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 ?x(1-x),0≤x≤1, ?29? ?41? f(x)=? 则 f? 4 ?+f? 6 ?=________. ? ? ? ? ?sinπx,1<x≤2, (2014·石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 2a-3 若 f(1)1,f(5)= ,则实数 a 的取值范围为( ) a+1 A.(-1,4) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 课后作业: 1.()下列函数为奇函数的是( ) A.2x- B.x3sinxC.2cosx+1 D.x2+2x 2.()设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列 结论正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是奇 函数 3.()已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足不等式 f(2x-1)f 成立 的 x 的取值范围是( ) 1 4 1 4? ?1 4? ? ? ? ?1 4? A.?-3,3? B.?-3,3?C.?3,3? D.?3,3? ? ? ? ? ? ? ? ? ?23π? 4.()设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f? 6 ? ? ? = 1 3 1 A.2 B. 2 C.0 D.-2 5.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函 数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( ) A. 既不充分也不必要的条件 B. 充分不必要的条件 C. 必要不充分的条件 D. 充 要条件 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x-1 时,f(x)=-(x+2)2. 当-1≤x3 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)=( ) A.335 B.336 C.1 678 D.2 015 7.已知奇函数 f(x)与偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2,且 g(b)=a,则 f(2) 的值为______ 8.()已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x.那么,不等式 f(x +2)5 的解集是________. 9.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足: ①f(x)=f(2-x);②当 0≤x≤1 时,f(x)=x2. (1)判断函数 f(x)是否为周期函数;(2)求 f(5.5)的值. 10.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒有 f(x+2)=-f(x), 当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+?+f(2016)的值. 11.()设常数 a≥0,函数 f(x)=.根据 a 的不同取值,讨论函数 y=f(x)的奇偶 性,并说明理由. (2014·全国大纲)奇函数 f(x)的定义域 R, 若 f(x+2)为偶函数, 且 f(1) =1,则 f(8)+f(9)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1


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